Зміст
Пропорції
Історія
Перше відоме визначення рівних пропорцій було подане як рівність послідовних віднімань; сучасною мовою це можна виразити як рівність ланцюгових дробів для відношень величин. Пізніше Евдокс Кнідський спростив визначення: рівність пропорцій \(a : b = c : d\)визначалася ним як одночасне виконання однієї з трьох пар співвідношень
- \(m\cdot a\gt n\cdot b\) і \(m\cdot c\gt n\cdot d\),
- \(m\cdot a=n\cdot b\) і \(m\cdot c= n\cdot d\),
- \(m\cdot a\lt n\cdot b\) і \(m\cdot c\lt n\cdot d\)
для будь-якої пари натуральних чисел \(m\) та \(n\). Це визначення подається в «Началах» Евкліда.
Ще давні греки й алхіміки використовували спостереження над кількістю речовин у реакціях.
Систематичне використання пропорцій для хімічних розрахунків почалося приблизно наприкінці XVIII — на початку XIX століття, з розвитком законів збереження маси (Антуан Лавуазьє) й сталості складу (Жозеф Пруст ).
Математичне обгрунтування
Пропорція — в математиці рівність двох відношень.
Записується як:
У пропорції всі члени натуральні. Члени \(a\) та \(d\) називають крайніми членами пропорції, а \(b\) та \(c\) — середніми.
У хімії використовують, переважно, основну властивість пропорції для розв'язання математичних рівнянь.
У пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.
Якщо \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), то \(ad=bc\)
При складанні пропорцій є два підходи:
- над формулою речовини записують кількість речовини, а під формулою — коефіцієнт із рівняння реакції;
- над формулою речовини записують значення відомої чи невідомої (позначивши \(x\)) речовини, а під формулою речовини відповідну сталу величину помножену на коефіцієнт.
Відповідність верхніх і нижніх написів наведена в таблиці:Над формулою \(m\) \(V\) \(n\) Під формулою \(a \cdot M\) \(a \cdot V_m\) \(a\) де \(a\) — коефіцієнт із рівняння реакцій
Обчислення за хімічною формулою
- Складаємо схему для обчислення виходячи з умови задачі: для цього записуємо формулу речовини і через риску елемент який заданий в умові задачі (або частину формули). Після цього підбираємо коефіцієнти, враховуюючи лише однакові елементи у лівій та правій частинах.
Наприклад:
- H2SO4 — 2H
- Al2(SO4)3 — 12O
- 2KNO3 — K2O (тому що: 2KNO3 ≡ K2O·N2O5)
- CuSO4·5H2O — 5H2O
- Складаємо пропорцію:
- над речовинами записуємо відомі кількості речовин, а також невідомі, позначивши їх літерою (наприклад x);
- знизу під формулою записуємо відповідні коефіцієнти;
- виписуємо із рівняння верхнє і нижнє значення, розділяючи їх рискою дробу. Між дробами ставимо знак =;
- розв'язуємо відповідне математичне рівняння.
Обчисліть масу оксигену в алюміній сульфаті масою 171 г.
\( m(\ce{Al2(SO4)3})=171\:\text{г} \)\( m(\ce{O})\:\text{—}\:? \)\( n=\frac{m}{M};\;M(\ce{Al2(SO4)3})=342\:\text{г/моль} \)
\( n(\ce{Al2(SO4)3})=\frac{171}{342}=0,5\:\text{(моль)}; \)
1 2а 2б \( \overset{\text{0,5}}{\underset{1}{\ce{Al2(SO4)3}}}\:\text{—}\:\overset{x}{\underset{12}{\ce{12O}}} \)
2в 2г \( \frac{0,5}{1}=\frac{x}{12};\;x=\frac{0,5 \cdot 12}{1}=6\:\text{(моль)} \)
\( M(\ce{O})=16\:\text{г/моль};\;m(\ce{O})=n \cdot M=6 \cdot 16=96\:\text{(г)}; \)
Відповідь: \( m(\ce{O})=96\:\text{г}; \)
Обчислення за рівнянням реакції
- Записуємо рівняння реакцій та підбираємо коефіцієнти
- Складаємо пропорцію:
- над речовинами записуємо відомі кількості речовин, а також невідомі, позначивши їх літерою (наприклад x);
- знизу під формулою записуємо відповідні коефіцієнти;
- виписуємо із рівняння верхнє і нижнє значення, розділяючи їх рискою дробу. Між дробами ставимо знак =;
- розв'язуємо відповідне математичне рівняння.
Обчисліть масу магній оксиду, що утворився внаслідок спалювання 96 г магнію.
\( m(\ce{Mg})=96\:\text{г} \)\( m(\ce{MgO})\:\text{—}\:? \)\( n=\frac{m}{M};\;M(\ce{Mg})=24\:\text{г/моль} \)
\( n(\ce{Mg})=\frac{96}{24}=4\:\text{(моль)}; \)
1 2а 2б \( \overset{\text{4}}{\underset{2}{\ce{2Mg}}}+\ce{O2}\:=\:\overset{x}{\underset{2}{\ce{2MgO}}} \)
2в 2г \( \frac{4}{2}=\frac{x}{2};\;x=\frac{4 \cdot 2}{2}=4\:\text{(моль)} \)
\( M(\ce{MgO})=40\:\text{г/моль};\;m(\ce{MgO})=n \cdot M=4 \cdot 40=240\:\text{(г)}; \)
Відповідь: \( m(\ce{MgO})=240\:\text{г}; \)
Обчислення за схемою реакцій чи схемою перетворень
- Складаємо схему перетворень:
- якщо ряд послідовних реакцій невідомо, а відомо лише початковий реактант та кінцевий продукт реакції, то складають схему, як при обчисленні за хімічною формулою. Лише замість значка — ставлять →.
- якщо відомі рівняння реакцій:
- записують рівняння реакцій одне під одним, підкреслюють їх і знаходять множники для кожного рівняння. Множники повинні бути такими, щоб коефіцієнти перед формулою однієї і тієї ж речовини, в різних рівняннях, помножені на них були рівними.
- помноживши усі коефіцієнти кожного з рівнянь на додаткові множники, виписують формули реактанта (з умови задачі) та продукту реакції із одержаними коефіцієнтами. Між ними ставлять стрілку.
- скорочують одержані коефіцієнти.
В результаі взаємодії натрій карбонату масою 13,25 г з кальцій гідроксидом утворився кальцій карбонат, який провзаємодіяв з отрофосфатною кислотою. Визначте об'єм утвореного карбон(IV) оксиду.
\[ \begin{array}{c|l} 3 & \ce{Na2CO3 + Ca(OH)2 = 2NaOH + CaCO3 v} \\ 1 & \ce{3CaCO3 + 2H3PO4 = Ca3(PO4)2 v + 3CO2 ^ + 3H2O} \\ \hline & \ce{3Na2CO3 -> 3CO2} \\ \end{array} \]
Результат: \(\ce{Na2CO3 -> CO2}\)
- Складаємо пропорцію:
- над речовинами записуємо відомі кількості речовин, а також невідомі, позначивши їх літерою (наприклад x);
- знизу під формулою записуємо відповідні коефіцієнти;
- виписуємо із рівняння верхнє і нижнє значення, розділяючи їх рискою дробу. Між дробами ставимо знак =;
- розв'язуємо відповідне математичне рівняння.
В результаі взаємодії натрій карбонату масою 13,25 г з кальцій гідроксидом утворився кальцій карбонат, який провзаємодіяв з отрофосфатною кислотою. Визначте об'єм утвореного карбон(IV) оксиду.
\( m(\ce{Na2CO3})=13,25\:\text{г} \)\( V(\ce{CO2})\:\text{—}\:? \)\( n=\frac{m}{M};\;M(\ce{Na2CO3})=106\:\text{г/моль} \)
\( n(\ce{Mg})=\frac{13,25}{106}=0,125\:\text{(моль)}; \)
1 2а 2б \( \overset{\text{0,125}}{\underset{1}{\ce{Na2CO3}}}\:\ce{->}\:\overset{x}{\underset{1}{\ce{CO2}}} \)
2в 2г \( \frac{0,125}{1}=\frac{x}{1};\;x=\frac{0,125 \cdot 1}{1}=0,125\:\text{(моль)} \)
\( V(\ce{CO2})=n \cdot V_m;\;V(\ce{CO2})=n \cdot V_m=0,125 \cdot 22,4=2,8\:\text{(л)}; \)
Відповідь: \( V(\ce{CO2})=2,8\:\text{л}; \)
Обчислення за термохімічним рівнянням
- Записуємо термохімічне рівняння
- Складаємо пропорцію так як за хімічним рівнянням, але над тепловим ефектом записуємо кількість теплоти (Q) для певної кількості речовини. Під тепловим ефектом, модуль його значення
Обчисліть кількість теплоти, яка виділитться при спалюванні 2 моль метану. Термохімічне рівняння реакції \(\ce{CH4 + 2O2 -> CO2 + 2H2O}, \Delta H = -2220 \ \text{кДж}\)
\( n(\ce{CH4})=2\:\text{моль} \)\( Q\:\text{—}\:? \)1 2 \( \overset{\text{2}}{\underset{1}{\ce{CH4}}}+\ce{2O2}\:=\:\ce{CO2 + 2H2O},\:\overset{x}{\underset{2220}{\Delta H = -2220 \ \text{кДж}}} \)
\( \frac{2}{1}=\frac{x}{2220};\;x=\frac{2 \cdot 2220}{1}=4440\:\text{(кДж)} \)
Відповідь: \( Q=4440\:\text{кДж}. \)
Складання систем рівнянь
У задачах часто доводиться складати системи математичних рівнянь, розв'язавши які можна визначити кількісний склад суміш.
Щоб скласти ситему рівнянь потрібно:
- позначити невідому кількість речовини (масу чи об'єм) однієї з реагуючих речовин через \(x\), а невідому кількість іншої речовини (як правило продукту реакції) через \(y\);
- виразити через \(x\) та \(y\) невідомі кількості (маси/об'єми) інших речовин із другої реакції;
- записати рівняння обох реакцій;
- скласти дві пропорції за двома рівняннями. для цього:
- над речовинами записуємо невідомі величини виражені через \(x\) та \(y\),
- знизу, під формулою, записуємо відповідну сталу величину помножену на коефіцієнт, який записаний перед формулою речовини.
- виписуємо із рівнянн верхнє та нижнє значення, розділяючи їх рискою дробу. Між дробами ставимо знак \(=\);
- об'єднати одержані математичні рівняння в систему рівнянь;
- розв'язати одержану систему рівнянь
В результаті розчинення суміші магнію та алюмінію масою 39 г в хлоридній кислоті виділилось 44,8 л водню. Визначте масу магнію у суміші.
\( V(\ce{H2})=44,8\:\text{л} \)
1 2 Нехай \(m(\ce{Mg})=x\:\text{г}\), тоді \(m(\ce{Al})=(39-x)\:\text{г}\).
Нехай \(V_1(\ce{H2})=y\:\text{л}\), тоді \(V_2(\ce{H2})=(44,8-y)\:\text{л}\).
3
4а
4б
\(
\begin{array}{l}
\overset{x}{\underset{24}{\ce{Mg}}} + \ce{2HCl = MgCl2} + \overset{y}{\underset{22,4}{\ce{H2}}}\ce{^} \\
\overset{39-x}{\underset{2 \cdot 27}{\ce{2Al}}} + \ce{6HCl = 2AlCl3} + \overset{44,8-y}{\underset{3 \cdot 22,4}{\ce{H2}}}\ce{^}
\end{array}
\)
\(M(\ce{Mg})=24\:\text{г/моль};\;M(\ce{Al})=27\:\text{г/моль}.\)
\(V_m=22,4\:\text{л/моль};\)
4в \( \frac{x}{24}=\frac{y}{22,4};\;\frac{39-x}{2 \cdot 27}=\frac{44,8-y}{3 \cdot 22,4}; \)
\( \frac{x}{24}=\frac{y}{22,4};\;\frac{39-x}{54}=\frac{44,8-y}{67,2}; \)
5
6
\(
\begin{cases}
\frac{x}{24}=\frac{y}{22,4} \\
\frac{39-x}{54}=\frac{44,8-y}{67,2}
\end{cases};\;
\begin{cases}
22,4x=24y \\
67,2(39-x)=54(44,8-y)
\end{cases};
\)
\( \begin{cases} y=\frac{22,4}{24}x=0,9333x \\ 2620,8-67,2x=2419,2-54y \end{cases};\; \begin{cases} y=0,9333x \\ 54y-67,2x=2419,2-2620,8=-201,6 \end{cases}; \)
\( \begin{cases} y=0,9333x \\ 54 \cdot 0,9333x-67,2x=-201,6 \end{cases};\; \begin{cases} y=0,9333x \\ 50,3982x-67,2x=-201,6 \end{cases}; \)
\( \begin{cases} y=0,9333x \\ -16,8x=-201,6 \end{cases};\; \begin{cases} y=0,9333x \\ x=\frac{-201,6}{-16,8}=12 \end{cases};\; \begin{cases} y=0,9333 \cdot 12=11,2 \\ x=12 \end{cases}; \)
\( m(\ce{Mg})=12\:\text{г} \)
Відповідь: \( m(\ce{Mg})=12\:\text{г}. \)
Співвідношення
Математичне обгрунтування
Співвідношення у математиці є відношенням між двома числами, яке показує, скільки разів перше число містить друге.
Співвідношення може містити більше двох чисел.
Співвідношення описується прямопропорційною залежністю між величинами.
Дві величини прямо пропорційні, коли, якщо збільшити або зменшити в певну кількість раз першу, то друга збільшується або зменшується в стільки раз, тобто ці величини можна записати як
де \(k\) — коефіцієнт пропорційності.
Знаходження речовини взятої в надлишку
- Знайти кількості обох реагуючих речовин (\(n\)).
-
вирахувати відношення кількості реагуючої речовини до коефіцієнта із рівняння реакції:
\[a\text{A} + b\text{B} \rightarrow c\text{C} + d\text{D}\] \[\frac{n(\text{A})}{a} = \frac{n(\text{B})}{b}\]
- Порівняти одержані значення.
Обчислення в задачі слід вести за речовиною взятою в недостачі (їй відповідає менше значення), тому що вона прореагує повністю.
Нехай \(\frac{n(\text{A})}{a} > \frac{n(\text{B})}{b}\), тоді речовина B взята внадлишку, а речовина A —в недостачі. тому обчислення слід вести за речовиною A.
Перетворення співвідношення індексів
При розв'язуванні задач на виведення молекулярної формули винкає потреба привести співвідношення дробових чисел у співвідношення невеликих цілих чисел, якими є індекси у формулі речовини. Для цього слід виконати таку послідовність дій:
-
Поділити кожне число у співвідношенні на найменше зних:
\[x:y:z\text{ ...}=a:b:c\text{ ...}\]нехай \(a\lt b\lt c\), тоді\[x:y:z\text{ ...}=1:\frac{b}{a}:\frac{c}{a}\text{ ...}\]
-
Помножити кожне з одержаних чисел на таке невелике ціле число, щоб результати були невеликими цілими числами.
(Для цього на практиці роблять так: спочатку мнжать на 2, якщо результати не є цілими числами, то початкові числа множать на 3 ... і так доки не підберуть необхідний множник)
Зазвичай, при виконанні вищезгаданих дій допускається заокруглення до цілих лише коли в розряді десятих стоїть 0 або 9.
Метод варіацій
Цей метод використовують у ситуації коли слід розв'язати рівняння з двома невідомими. Найчастіше така потреба виникає при розв'язуванні задач на визначення хімічного елемента, якщо в результаті розв'язування задачі знаходимо його еквівалент (відношення відносної атомної маси до валентності елемента).
Подібна ситуація може виникнути при розв'язуванні нетипових задач на встановлення формули речовини (визначається відношення молекулярної маси речовини до кількості атомів певного елемента) тощо.
Для того, щоб скористатися методом варіацій слід:
-
Фіксувати одне невідоме (як правило, це валентність елемента чи індекс, тобто кількість атомів).
Цьому невідомому надаватиметься значення (1, 2, 3 і т. д.) -
Скласти табличку:
Перше невідоме
(фіксоване)Розраховане
значення другого
невідомогоХімічний елемент
чи формула
речовиниНадаючи значення першому аргументу слід враховувати їх правдивість. Наприклад, якщо в умові задачі сказано, що невідомий елемент — це метал, то його валентність може становити лише 1, 2, 3 або 4, але не більше.
- Вибрати перше, із розрахованих, значення, яке відповідає реально існуючому хімічному елементу чи речовині та умові задачі.
Із умови: Проста речовина утворена елементом E є твердою та крихкою.
В результаті розв'язування задачі одержано \(\frac{A_r}{x}=8\).
Задаємо, що \(x\) фіксоване, тоді:
| \(x\) | \(A_r\) | E | |
|---|---|---|---|
| 1 | 8 | – | |
| 2 | 16 | O | (газ) |
| 3 | 24 | Mg | (пластичний) |
| 4 | 32 | S |
Отже E —S (сульфур).
Із умови: Невідома речовина є спиртом.
В результаті розв'язування задачі одержано попередню формулу C3HyOz, відношення \(\frac{M_r}{z}=38\).
Виводимо обмеження:
\[M_r(\ce{C3H_yO_z})=12\cdot 3+y+16z=36+y+16z;\] \[y=M_r-16z-36;\] \[M_r=38z;\] \[y=38z-16z-36;\] \[y=22z-36;\]В насичених спиртах вміст гідрогену є найбільшим і для них справедливою буде загальна формула CnH2n+2Om. Тоді для невідомого спирту \(y\le 8\). Тому що, зіставивши формули C3HyOz і CnH2n+2Om, помітимо, що \(n=3\). Тоді: \(y=2n+2=2\cdot 3+2=8\). Тобто \(y\le 8\) (якщо \(y=8\), то спирт насичений, а в ненасичених спиртах атомів гідрогену менше,ніж у насичених).
Задаємо \(z\) фіксоване тоді:
| \(z\) | \(y\) | Формула спирту |
|
|---|---|---|---|
| 1 | -14 | – | (\(y\lt 0\)) |
| 2 | 8 | C3H8O2 | |
| 3 | 30 | C3H30O3 | (\(y\gt 8\)) |
Отже формула спирту C3H8O2.
Правило змішування
(правило/метод Пірсона, хреста, павука, конверта, квадрат Пірсона)
Історія
Ще в XVII столітті у фармацевтичних і комерційних підручниках описується аллегація альтернативна (Alligation alternate).
У XIX ст. ця техніка була основним способом:
- змішувати спирти різної міцності,
- готувати мазі й настойки,
- змішувати товари різної якості (наприклад, чай, какао, зерно).
І вона виглядала майже так само, як сучасний квадрат Пірсона.
Назва "Pearson Square" з’явилася в США у першій половині XX століття у посібниках із годівлі тварин (feed mixing).
Метод аллегації почали масово використовувати в аграрних школах і фермерських інструкціях США.
Один із інструкторів/фахівців прізвища Pearson (ймовірно, W. H. Pearson (можливо йдеться про Вільяма Генрі Пірсона, англійського ботаніка) або W. Pearson), який працював у системі Agricultural Extension, почав популяризувати саме графічну форму — квадрат.
Метод став асоціюватися з його лекціями й конспектами. У перших аграрних брошурах його називали “Pearson’s method”, “Pearson square”.
Пізніше це ім’я закріпилося в практичній аграрній освіті США — звідти перейшло в харчову технологію → фармацію → хімію.
Пірсон не винайшов метод, а лише популяризував квадратну графічну форму аллегації, яку почали називати його ім’ям.
У шкільній і технічній літературі ім’я автора правила змішування не уточнюється, тому дехто помилково пов’язує його з більш відомим Карлом Пірсоном — але це неправильна асоціація.
Жодних робіт Карла Пірсона про змішування сумішей, масові частки чи технологію продуктів не існує, і «правило Пірсона» не походить від нього.
Інші назви правила (квадрат, правило конверта, хреста, павука) сформувалися за візуальною подібністю графічного представлення цього правила.
Математичне обгрунтування
Нехай є початкові розчини 1 та 2, і новий розчин 3, який утворився при змішуванні розчинів 1 та 2.
Позначимо:
- \(w_1\) - масова частка розчину 1,
- \(w_2\) - масова частка розчину 2,
- \(w_3\) - масова частка розчину 3,
- \(m_1\) - маса розчину 1,
- \(m_2\) - маса розчину 2,
- \(m_3\) - маса розчину 3,
- \(m_1 (р.р.)\) - маса розчиненої речовини у розчині 1,
- \(m_2 (р.р.)\) - маса розчиненої речовини у розчині 2,
- \(m_3 (р.р.)\) - маса розчиненої речовини у розчині 3.
Задамо умову \(w_1\gt w_3\gt w_2\). Тоді, згідно правила змішування, справедливими є співвідношення: \(\frac{m_1}{m_2}=\frac{w_3-w_2}{w_1-w_3}\); \(\frac{m_1}{m_3}=\frac{w_3-w_2}{w_3-w_2+w_1-w_3}=\frac{w_3-w_2}{w_1-w_2}\) та \(\frac{m_2}{m_3}=\frac{w_1-w_3}{w_3-w_2+w_1-w_3}=\frac{w_1-w_3}{w_1-w_2}\).
Врахуємо залежності: \(w_1=\frac{m_1 (р.р.)}{m_1}\); \(w_2=\frac{m_2 (р.р.)}{m_2}\); \(w_3=\frac{m_3 (р.р.)}{m_3}\); \(m_3 (р.р.)=m_1 (р.р.)+m_2 (р.р.)\) і \(m_3=m_1+m_2\).
Розглянемо співвідношення \(\frac{m_1}{m_2}=\frac{w_3-w_2}{w_1-w_3}\).
Враховуючи вищенаведені залежності, підставимо значення масових часток у праву частину співвідношення:
\[\begin{aligned}&\frac{w_3-w_2}{w_1-w_3}=\frac{\frac{m_3 (р.р.)}{m_3}-\frac{m_2 (р.р.)}{m_2}}{\frac{m_1 (р.р.)}{m_1}-\frac{m_3 (р.р.)}{m_3}}=\frac{\frac{m_3 (р.р.)m_2-m_2 (р.р.)m_3}{m_2 m_3}}{\frac{m_1 (р.р.)m_3-m_3 (р.р.)m_1}{m_1 m_3}}=\\ & =\frac{(m_3 (р.р.)m_2-m_2 (р.р.)m_3)m_1 m_3}{(m_1 (р.р.)m_3-m_3 (р.р.)m_1)m_2 m_3}=\frac{(m_3 (р.р.)m_2-m_2 (р.р.)m_3)m_1}{(m_1 (р.р.)m_3-m_3 (р.р.)m_1)m_2}=\\ & =\frac{((m_1 (р.р.)+m_2 (р.р.))m_2-m_2 (р.р.)(m_1+m_2))m_1}{(m_1 (р.р.)(m_1+m_2)-(m_1 (р.р.)+m_2 (р.р.))m_1)m_2}=\\ & =\frac{(m_1 (р.р.)m_2+m_2 (р.р.)m_2-m_2 (р.р.)m_1-m_2 (р.р.)m_2)m_1}{(m_1 (р.р.)m_1+m_1 (р.р.)m_2-m_1 (р.р.)m_1-m_2 (р.р.)m_1)m_2}=\\ & =\frac{(m_1 (р.р.)m_2-m_2 (р.р.)m_1)m_1}{(m_1 (р.р.)m_2-m_2 (р.р.)m_1)m_2}=\frac{m_1}{m_2} \end{aligned}\]Аналогічно доводяться й інші співвідношення.
Це правило використовується при розв'язуванні задач на змішування розчинів.
Нехай змішали розчини з масовими частками \(w_1\) та \(w_2\), в результаті утворився розчин з масовою часткою \(w_3\), тоді:
де \(a=|w_3-w_2|\), \(b=|w_1-w_3|\).
Якщо позначити:
- \(m_1\) — маса розчину, з масовою часткою \(w_1\),
- \(m_2\) — маса розчину, з масовою часткою \(w_2\),
- \(m_3\) — маса розчину, з масовою часткою \(w_3\).
Тоді:
Визначте масу 40% розчину нітратної кислоти, яку треба змішати із 240 г 5% розчину, щоб утворився 20% розчин нітратної кислоти.
\(w_2=5\%\)
\(m_2=240\:\text{г}\)
\(w_3=20\%\)
Відповідь: \(m_1=180\:\text{г}\).
Слід зауважити:
- для розчинника \(w=0\%\),
- для розчиненої речовини \(w=100\%\).
Визначити масу кухонної солі та об'єм води необхідні для приготування 54% розчину масою 200 г.
\(w_3=50\%\)
\(m_3=200\:\text{г}\)\(m(\ce{NaCl})\:\text{—}\:?\)
\(V(\ce{H2O})\:\text{—}\:?\)\(\ce{NaCl}\) — розчинена речовина, тому \(w_1=100\%\);
\(\ce{H2O}\) — розчинник, тому \(w_2=0\%\);; \[\frac{m_1}{m_3}=\frac{54}{100};\;\;\frac{m_1}{200}=\frac{54}{100};\] \[m_1=\frac{54\cdot 200}{100}=108\:\text{(г)};\] \[m(\ce{NaCl})=108\:\text{г};\] \[m_2=m_3-m_1=200-108=92\:\text{(г)};\] \[m(\ce{H2O})=92\:\text{г};\;\;\rho(\ce{H2O})=1\:\text{г\мл};\] \[V(\ce{H2O})=\frac{m}{\rho}=\frac{92}{1}=92\:\text{(мл)}.\]\(100\%\)\(54\)\(54\%\)\(0\%\)\(46\)Відповідь: \(m(\ce{NaCl})=108\:\text{г}\), \(V(\ce{H2O})=92\:\text{мл}\).
-
Оскільки кристалогідрат містить воду то його можна вважати умовним розчином безводної солі.
Тоді, для кристалогідрату \(w=\frac{M_{б.с.}}{M_{кр.}}\), де \(M_{б.с.}\) — молярна маса безводної солі, \(M_{кр.}\) — молярна маса кристалогідрату.Визначте масу мідного купоросу, яку необхідно додати до 200 г 20% розчину купрум(II) сульфату, щоб одержати 40% розчин.
\[M(\ce{CuSO4})=160\:\text{г/моль};\] \[M(\ce{CuSO4.5H2O})=250\:\text{г/моль};\] \[w_2=\frac{M(\ce{CuSO4})}{M(\ce{CuSO4.5H2O})}\cdot 100\%=\frac{160}{250}\cdot 100\%=64(\%);\]\(m_1=200\:\text{г}\)
\(w_1=20\%\)
\(w_3=40\%\)\(m(\ce{CuSO4.5H2O})\:\text{—}\:?\); \[\frac{m_1}{m_2}=\frac{24}{20};\;\;\frac{200}{m_2}=\frac{24}{20};\] \[m_2=\frac{200\cdot 20}{24}\approx 166,67\:\text{(г)};\]\(20\%\)\(24\)\(40\%\)\(64\%\)\(20\)Відповідь: \(m(\ce{CuSO4.5H2O})=166,67\:\text{г}\).
У випадках, коли густина розчину прямопропорційна масовій частці, будуть справедливими такі залежності:
-
Для морярних концентрацій розчинів
Нехай змішали розчини з молярними концентраціями \(c_1\) та \(c_2\), в результаті утворився розчин з молярною концентрацією \(c_3\), тоді:
\(c_1\)\(a\)\(c_3\)\(c_2\)\(b\)де \(a=|c_3-c_2|\), \(b=|c_1-c_3|\).
Якщо позначити:
- \(V_1\) — маса розчину, з молярною концентрацією \(c_1\),
- \(V_2\) — маса розчину, з молярною концентрацією \(c_2\),
- \(V_3\) — маса розчину, з молярною концентрацією \(c_3\).
Тоді:
\[\frac{V_1}{V_2}=\frac{a}{b};\;\;\frac{V_1}{V_3}=\frac{a}{a+b};\;\;\frac{V_2}{V_3}=\frac{b}{a+b}.\] -
Для густин розчинів
Нехай змішали розчини з густинами \(\rho_1\) та \(\rho_2\), в результаті утворився розчин з густиною \(\rho_3\), тоді:
\(\rho_1\)\(a\)\(\rho_3\)\(\rho_2\)\(b\)де \(a=|\rho_3-\rho_2|\), \(b=|\rho_1-\rho_3|\).
Якщо позначити:
- \(V_1\) — маса розчину, з густиною \(\rho_1\),
- \(V_2\) — маса розчину, з густиною \(\rho_2\),
- \(V_3\) — маса розчину, з густиною \(\rho_3\).
Тоді:
\[\frac{V_1}{V_2}=\frac{a}{b};\;\;\frac{V_1}{V_3}=\frac{a}{a+b};\;\;\frac{V_2}{V_3}=\frac{b}{a+b}.\]
-
Схема «Рибка» (метод «Рибка», спосіб Магницького)
Історія
(1669–1739)
Математичне обгрунтування
Будемо позначати числами 1 та 2 початкові розчини (суміші), а числом 3 — кінцевий розчин (суміш).
Позначимо:
- \(m_1\) — маса 1 розчину (суміші)
- \(m_2\) — маса 2 розчину (суміші)
-
\(m_3\) — маса 3 розчину (суміші)
\[m_3=m_1+m_2\]
- \(w_1\) — масова частка 1 розчину (компонента в суміші)
- \(w_2\) — масова частка 2 розчину (компонента в суміші)
- \(w_3\) — масова частка 3 розчину (компонента в суміші)
Задамо що
Із формули, для визначення масової частки
- \(m_{1к}=w_1m_1\) — маса основного компонента в суміші 1
- \(m_{2к}=w_2m_2\) — маса основного компонента в суміші 2
- \(m_{3к}=w_3m_3=w_3(m_1+m_2)\) — маса основного компонента в суміші 3
- З іншої сторони \(m_{3к}=m_{1к}+m_{2к}\) — маса основного компонента в суміші 3.
Отрмаємо:
\[w_3(m_1+m_2)=w_1m_1+w_2m_2;\] \[w_3m_1+w_3m_2=w_1m_1+w_2m_2;\] \[w_3m_1-w_1m_1=w_2m_2-w_3m_2;\] \[m_1(w_3-w_1)=m_2(w_2-w_3);\]Цей спосіб — це видозмінене правило Пірсона. Цей метод застосовують при розв'язанні задач на змішування сумішей (також розчинів).
Нехай змішали розчини з масовими частками \(w_1\) та \(w_2\), в результаті утворився розчин з масовою часткою \(w_3\), тоді:
Якщо позначити:
- \(m_1\) — маса розчину, з масовою часткою \(w_1\),
- \(m_2\) — маса розчину, з масовою часткою \(w_2\),
Тоді:
Маємо два сплави міді та свинцю. Один сплав містить 15% міді, а другий 65% міді. Скільки треба взяти кожного сплаву, щоб отримати 200 г сплаву, який містить 30% міді?
\(w_2=65\%\)
\(w_3=30\%\)
\(m_3=200\:\text{г}\)
\(m_2\:\text{—}\:?\)
Відповідь: \(m_1=140\:\text{г}\), \(m_2=60\:\text{г}\).
Маємо два сплави з різним вмістом золота. У першому сплаві міститься 35%, а у другому 60% золота. В якому відношенні треба взяти перший та другий сплави, щоб отримати з них новий сплав, який містить 40% золота?
\(w_2=60\%\)
\(w_3=40\%\)
Відповідь: \(\frac{m_1}{m_2}=\frac{4}{1}\).
Маємо склянку 20%-го розчину кислоти та склянку 40%-го розчину кислоти? Змішали 200 г розчину з першої склянки та 300 г з другої. Визнач масу одержаної кислоти та її масову частку.
\(w_2=40\%\)
\(m_1=200\:\text{г}\)
\(m_2=300\:\text{г}\)
\(w_3\:\text{—}\:?\)
Відповідь: \(m_3=500\:\text{г}\), \(w_3=32\%\).
Скільки грамів води треба додати до 180 г сиропу, що містить 25% цукру, щоб отримати сироп, масовачастка цукру в якому 20%?
\(w_2=20\%\)
\(w_3=20\%\)
\(m_2=180\:\text{г}\)
Відповідь: \(m(\ce{H2O})=45\:\text{г}\).